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两种假设检验思想的比较

来源:中国卫生统计 作者:张高魁姚晨徐勇勇 2004-9-30
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摘要: 【提要】目的探讨经典统计学派与贝叶斯学派假设检验思想的异同。方法总结和概括两种思想,并结合一个实例对两种思想进行比较。结果两种思想统一于贝叶斯定理,并在特定场合下相互等价。贝叶斯方法在先验信息的利用、风险的回答、损失的考虑以及多重假设问题的处理等方面较经典方法具有明显的优势。...


  根据贝叶斯理论,若X~N(θ,σ2),其中σ2已知,θ未知,但已知θ的先验分布是N(μ,τ2),其中μ和τ2均已知,则给定x后θ的后验分布为N(μ(x),ρ-1,)其中(证明参见文献[1])。

  由此得到,本例中该儿童智商θi的后验分布为N(110.38,69.23)。

  对第一问,同样设H0:θi≤100 H1:θi>100,查正态分布表可以得到:

P(H0:θi≤100|x=115)=0.106,

  P(H1:θi>100|x=115)=0.894

  根据风险最小原则拒绝H0,接受H1。

  对第二问,设H0:a<θi<b H1:θi<a或θi>b,查正态分布表可以分别得到P{H0:a<θi<b|x=115}和P{H1:θi<a或θi>b|x=115},类似第一问,依据风险最小原则作出推断。

  讨 论

  由上述分析和例子,我们可以看出,用贝叶斯方法处理假设检验问题至少在下述几方面具有明显优势。

  一、先验信息利用的充分性和风险的直观性

  从前述问题的处理,我们清楚地看到,经典方法只使用了Xi的已有信息(贝叶斯学派称之为先验信息),而贝叶斯方法则同时利用了Xi和θ的先验信息。因而在第二问的解决上,贝叶斯方法较经典方法少进行一次假设检验。

  在贝叶斯方法中,由于导出了样本x下的后验分布,可以对风险给出正面的回答,因而较经典方法下的间接判断更直观。

  二、可以将后续问题纳入考虑范围

  如果推断错误在后续问题的解决过程中会造成一定损失,贝叶斯方法在进行推断时可将这一损失考虑在内。如:

  在假设H0∶θ∈Θ0,H1∶θ∈Θ1(Θ0、Θ1是参数空间内两个互补子集)下,有:

 

  Φ等于0,1分别代表拒绝、接受H0,a0、a1分别代表了第一、第二类错误造成的损失,这时,贝叶斯方法给出如下决策函数:

 

  由于可以将假设检验结果带来的损失纳入检验考虑的范畴之内,因而对问题的回答更接近实用。

  三、多重假设的处理不存在困难

  对多重假设,如将前例第二问改为:若θi∈(a,b)为智力正常,θi<a为智力低下,θi≥b为智力超常,问该儿童智力属何种类型?

  在现有条件下,经典方法很难处理这一问题。而贝叶斯方法对这一问题的解答并不存在特殊的困难,只需将假设设为:H0∶a≤θi<b H1∶θi<a H2∶θi≥b,多计算一个后验概率便可。


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